1. 자율성의 기둥
우리는 주로 다음을 다룹니다: 자율 시스템. 방정식 (1)에서 $F$와 $G$가 독립 변수 $t$에 의존하지 않는 성질을 가진 시스템을 자율 시스템이라 합니다. 이러한 독립성은 궤적을 고정된 위상 평면 내의 영속적인 경로로 해석할 수 있게 해줍니다.
모든 자율 시스템 $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$에 대해 $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$를 만족하는 유일한 해가 존재합니다. 위상 평면에서는 이를 통해 궤적이 결코 교차하지 않는다; 경로는 도착한 시간이 아니라 현재 상태에 의해 완전히 결정됩니다.
2. 선형 기준과 비선형 현실
선형 시스템 $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$에서 원점은 일반적으로 유일한 평형점이며, 행렬식 $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$과 추적값(트레이스)에 의해 결정됩니다. 그러나 비선형 시스템은 그들에 의해 정의되며, 비평형점—오른쪽 항이 0이 되는 위치입니다. 큰 함정 궤적에 영향을 미치기 위해 여러 개 또는 많은 비평형점들이 경쟁할 수 있다는 점입니다.
예시: 비선형 진동자
선형 스프링-질량계에서 주기가 일정한 것과 달리, 비선형 진동자의 주기 $T$는 진폭에 따라 달라지며, 타원 적분을 통해 표현됩니다:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. 안정성과 리아푸노프의 시각
방정식을 풀지 않고도 이러한 점들을 분석하기 위해 우리는 리아푸노프 함수. $V$를 원점을 포함하는 어떤 도메인 $D$ 위에서 정의된다고 하겠습니다. 그러면 $V(0, 0) = 0$이고, $D$의 모든 다른 점에서 $V(x, y) > 0$일 때, $V$는 $D$에서 양의 정부호라고 합니다.
3차원으로 확장할 때 우리는 로렌츠 행렬을 만납니다:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$